CARDANO

CARDANO

CARDANO​ fue un médico, además de un matemático italiano del Renacimiento, astrólogo y un estudioso del azar. 

​También es conocido por ser el primero en publicar una solución general completa de la ecuación de tercer grado ​ y de la ecuación de cuarto grado.

Cardano destaca por sus trabajos de álgebra. En 1539 publicó su libro de aritmética "Practica arithmetica et mensurandi singulares". Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su "Ars magna" ,en 1545. 

La solución a un caso particular de ecuación cúbica ${\displaystyle x^{3}+ax=b}$ 

En realidad, el hallazgo de la solución de las ecuaciones cúbicas no se debe ni a Cardano ni a Tartaglia (había hallado una primera fórmula Scipione dal Ferro ) y hoy está acreditada la honradez de Cardano que lo reconocía así en su libro. 

Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano llamado Lodovico Ferrari. En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce como números imaginarios.

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PRUEBA 2

Polinomios. Fracciones algebraicas

1)  

            Define los siguientes conjuntos de polinomios: Z[x], Q[x] y R[x]. Observa que 

Pon ejemplos de, un polinomio en Z[x], un polinomio en Q[x]-Z[x] y un polinomio en R[x]-Q[x].

2)

           Halla el inverso del polinomio 2x+3. ¿Qué es una fracción algebraica? Pon ejemplos.                    ¿2x+3 es una fracción algebraica?

      Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que                            numerador  y denominador son polinomios, siendo el denominador no              nulo.

3)

          Define polinomio, ecuación polinómica y función polinómica. Define raíz de un                              polinomio, solución de una ecuación y cero de una función. Pon ejemplos.                    

POLINOMIO: Es una expresión algebraica formada por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados) y constantes (números fijos, los coeficientes). 

Las variables pueden tener exponentes de valores definidos naturales, incluido el cero y cuyo valor máximo se conocerá como grado del polinomio. 

FUNCIÓN DE POLINOMIOS: Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio  en la que:

1. El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. 
2. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.
3. Las funciones polinómicas pueden clasificarse en diferentes tipos según el grado del polinomio

RAÍZ DE UN POLINOMIO: Las raíces de un polinomio  son los valores para los cuales,

el valor numérico del polinomio es igual a cero.

Recordamos que para calcular el valor numérico de un polinomio hay que sustituir la variable del polinomio por un número. Cuando este valor sea cero, el número corresponderá con la raíz del polinomio

SOLUCIÓN ECUACIÓN DE UN POLINOMIO: Resolver una ecuación es calcular la solución de esta. La solución de la ecuación son los valores numéricos de las letras (variables o incógnitas) para los cuales la igualdad es cierta. Es decir, al sustituir estos valores por las letras en la ecuación y operar, obtenemos una igualdad.

CERO DE UNA FUNCIÓN: Se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:
Se dice que 2 y 4 son raíces  ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

 A)     Halla las raíces del polinomio 8x³ + 2x² - 13x + 3

 B)     Resuelve la ecuación  polinómica 8x³ + 2x² - 13x + 3 = 0

 C)    Halla los ceros de la función polinómica y = 8x³ + 2x² - 13x + 3

4)

          Enuncia y demuestra el teorema del factor.

El teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. 

Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ tiene un factor ${\displaystyle (x-k)}$ si y sólo si K 

es una raíz de ${\displaystyle P(x)}$, es decir que ${\displaystyle P(k)=0}$.

5)

          Halla el coeficiente a del polinomio x⁴ - 4x³ - ax  para que el resto de la división entera           de  dicho polinomio y (x+2) sea -2.

6)

          Escribe en lenguaje matemático la siguiente proposición: Si a es un número entero raíz              de  un polinomio p(x) con coeficientes enteros entonces a es un divisor del término                    independiente de a. 

          Demuéstrala. 

          Enuncia la proposición contrarrecíproca.

        ¿Es cierta la proposición recíproca?

7)
        La anterior proposición nos permite encontrar la raíces enteras de un polinomio con                 coeficientes enteros. Enuncia una proposición análoga sobre las raíces racionales de un             polinomio con coeficientes racionales.

8)

          Factoriza los siguientes polinomios·

                        8x³ + 2x² - 13x + 3 
                        12x³ - 8x² - 3x + 2   
                        x⁴ + 4y⁴    

9)

         Sea f una función polinómica con coeficientes enteros. Demuestra que si la distancia                   entre  dos puntos cualesquiera de su gráfica con coordenadas enteras es un número                    entero entonces el segmento que une dichos puntos es paralelo al eje de abscisas.

10)

             Opera y simplifica el resultado

PRUEBA 1

1)  ¿Qué es un número real?  El conjunto de los números racionales junto a los irracionales; se denotan con la letra R. Estos números llenan la recta por completoo ( recta real ; a cada nº le correspone un punto de la recta).

        ¿Qué es un número radical? Es un número en cuya potencia enésima su resultado es un número racional (se represtenta con un Q, se representan en una recta horizontal, dividiendo cada unidad en tantas partes como indica el denominador )

        ¿Qué es un número algebraico? Los números algebraicos son los nºs reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son nºs racionales.
Según esta definición podemos deducir que todos los nºs racionales son algebraicos.
No sólo son algebraicos los racionales. También lo son muchos irracionales. 
Por ejemplo,  es algebraico. Porque que es solución de la ecuación polinómica 
        ¿Qué es un número trascendente? Los números trascendentes son los nºs reales que NO son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. 
Con lo que acabamos de ver, la mayoría de los nºs trascendentes son irracionales, aunque no todos ,como el nº  


2) ¿El número 5 es un número decimal periódico?  No, ya que se trata de un nº primo
          Pon tres ejemplos de números decimales no periódicos.  

1.  7/16
2. 36/150
3. 0'025

       ¿Cómo se llaman también dichos números decimales no periódicos? Se llaman nºs exactos

3) Escribe en lenguaje matemático que si un número entero es múltiplo de 6 entonces es                  múltiplo de 2 y múltiplo de 3.
       Demuéstralo. ¿Es cierta la proposición recíproca?

Con este ejemplo podemos comprobar que sí que es cierta dicha proposición

4) Escribe en lenguaje matemático logaritmo base dos de nueve  y  demuestra que es un                   número irracional.

Usando reducción al absurdo, supongamos que Log(base2) 9  es un número racional. 
Entonces  puede ser expresado como el cociente de dos números enteros (numerador entero y denominador natural) 

Log(base2)9 = p/q , elevo 2 a lo que está a cada lado del igual. 

2^{log(base2)9} = 2^{p/q} 
3 = 2^{p/q} 

Elevo cada miembro de la igualdad a la que obtengo 

3^{q} = 2^{p} 






*Primer caso: si p es un número natural, entonces el número 2^{p} es par. 
Pero ninguna portencia natural de 3  es par, por lo tanto es absurdo que 3^{q} = 2^{p}. 

*Segundo caso: Si p no es natural, entonces el número 2^{p} es una fracción  en la que su denominador es par. 
 
Pero ninguna potencia natural de 3 es fraccionario con denominador par, por lo tanto es absurdo que 3^{q} = 2^{p}. 

De esta manera, que da demostrado que Log(base2) 3 es un número irracional. 



5) ¿Qué es una aplicación? Muestra el concepto, definiciones y ejemplos de la aplicación en las matemáticas, la que establece una correspondencia entre dos conjuntos de elementos para que a cada elemento del conjunto se le asocie un elemento del último conjunto.

        ¿Qué es una sucesión de números reales? Es una aplicacón de los nºs N en los R. El término general es una fórmula que relaciona el lugar  que ocupa cada término con su valor (se representa por ).

Con esto se puede calcular cualquier término de la sucesión sustituyendo  la letra ${\displaystyle n}$ por el lugar que se desea,  dando a ${\displaystyle n}$ los valores  1,2,3...​

        ¿Qué es una función real de variable real?  Una función de este tipo puede expresarse en una de las siguientes formas:

• Expresión algebraica. Es la relación entre las dos variables, en la que  ( y ) está despejada. 
• Tabla de valores. Es un conjunto de pares de valores (x,y) de la función.
• Gráfica. La gráfica es el conjunto de todos los puntos (x,y=f(x)) representados en los ejes de coordenadas.

       ¿Cómo se puede definir una sucesión?  Hay dos formas básicas:

     1.Término general (EJ: Dn= n elevado a 2 - 3n/ 2)

     2.Una sucesión siendo el conjunto X = N puede ser, la sucesión de Fibonacci.

 Por norma general, la sucesión se formaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales. 

        Escribe en lenguaje matemático la sucesión (o mejor dicho sucesiones) que aparece(n) en la conjetura de Collatz.

Elijamos un número natural, digamos n, y haremos los siguientes cálculos:

• Si n es par se divide por 2
• Si n es impar lo multiplicamos por 3 y sle sumamos  1     

 

Con el número obtenido se repite el proceso, y así sucesivamente.  

EJEMPLO:

             n =6

La secuencia que obtenemos es:

       6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

6) ¿Qué es una conjetura matemática? Ejemplos.

El concepto de conjetura se refiere a una afirmación que se supone que es cierta, pero que no ha sido comprobada. Una vez que se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema y puede usararse para construir otras demostraciones formales.

EJEMPLOS:

1. Conjetura de GoldBach 

( Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos).

2. Conjetura de Poincaré 

( Resultado sobre la esfera cuatridimensional,  dejó de ser una conjetura para convertirse en un teorema tras su comprobación . El teorema dice que la esfera cuatridimensional, es la única variedad compacta en la que todo círculo cerrado se puede deformar en un punto).

7) Demuestra que la sucesión obtenida de la resta de dos términos consecutivos de una sucesión cuadrática (polinómica de grado 2) es una progresión aritmética.

 

8) Dibuja con regla y compás en la recta real los números raíz cuadrada de 6 y Ф.

9) Propiedades de la potenciación en Q. ¿Siguen siendo ciertas en R?

10) ¿Qué es racionalizar una división de números reales? 

La racionalización de radicales es un proceso en el que se transforma una expresión, una fracción con raíz en el denominador, a otra equivalente sin raíz en él.​

Consiste en operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción.

​ Para ello se multiplica numerador y  denominador por otra expresión de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.

 Cabe la opción de que la expresión a pueda tener la raíz con índice mayor que dos, puede ser un monomio, binomio, etc.

            Racionaliza el número cordobés.