DIOFANTO

DIOFANTO

Diofanto fue un antiguo matemático griego. Es considerado "el padre del álgebra maestral".

El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Arithmetica. 

Este libro, fue publicado por Guilielmus Xylander a partir de unos manuscritos de la universidad de Wittenberg.  

En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico, sino una colección de problemas, adecuados para soluciones enteras. 

También fue importante su contribución en el campo de la notación; los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente,ya que introdujo novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.).

En su época el concepto de números poligonales se extendió a los números espaciales, representados por familias de ortoedros, números piramidales.

EJERCICIO 9

EJERCICIO 9

Distribuye los 705 escaños de forma proporcional al porcentaje de cada pais

Alemania    16'1 · 705 / 100 =  113'928

Bélgica       2'23 · 705 / 100 = 15'721

Chipre        0'17 · 705 / 100 = 1'198 

Dinamarca 1'13 3 705 / 100 = 7'9

España       9'1 · 705 / 100 = 64'155

Finlandia   1'08 · 705 / 100 = 7'614

Grecia       2'09 · 705 / 100 = 14'73

Hungría     1'91 · 705 / 100 = 13'466

Italia          11'8 · 705 / 100 = 83'19

Lituania     0'55 · 705 / 100 = 3'87

Malta         0'09 · 705 / 100 = 0'6345

Portugal     2'01 · 705 / 100 = 14'7

Rep,Checa 2'07 · 705 / 100 = 14'594

Suecia        1'97 · 705 / 100 = 13'88

Austria       1'72 · 705 / 100 = 12'12

Bulgaria     1'38 · 705 / 100 = 9'729

Coacia        0'8 · 705 / 100 = 5'64

Eslovaquia 1'06 · 705 / 100 = 7'95

Estonia       0'26 · 705 / 100 = 1'88

Francia       13'11 · 705 / 100 = 92'4255  

Holanda      0'34 · 705 / 100 = 23'54

Irlanda        0'94 · 705 / 100 = 6'627

Letonia       0'12 · 705 / 100 = 2'679

Luxemburgo 0'12 · 705 7 100 = 0'846

Polonia       7'41 · 705 / 100 = 52'2405

Ukrania      12'91 · 705 / 100 = 91'016

Rumanía     3'81 · 705 / 100 = 26'86

EJERCICIO 8

EJERCICIO 8

                      log   9

                         2

Hallar                                          (√2) 

  

                                                                                        log   9
                                                                                                                   2          
                                                                                                    1/2
                                      (2   )

                                                                                                                                                 1/2
                                                                               log   9
                                                                                                         2
                                      2 


                                                                                          log  3
                                                                               2
                                   2

                       RESULTADO = 3

                                                                           

    

   

EJERCICIO 7

EJERCICIO 7

Hallar la "x" a partir del dibujo dado...

En el dibujo podemos ver dos triángulos, uno de ellos es rectángulo, y el otro es obtuso.

Del que es rectángulo conocemos el valor de un lado y dos ángulos:

     Lado AB -- 6 

     Ángulo A --90º

     Ángulo B -- 40º

   *A partir de estos dos ángulos,podemos deducir el tercero de forma sencilla :

90 + 40 = 130º

180 - 130 = 50º

Del otro triángulo, conocemos simplemente dos ángulos

     Ángulo C -- 45º

     Ángulo D -- 5º

Ambos triángulos tienen un lado en común, el segmento BD, del cual hay que hallar su valor.

Para realizar este ejercicio, vamos a recurrir a la trigonometría.

Vamos a utilizar una sola fórmula: 

   a               b               c

       ____  =      ____   =    ____   

                               sen A       sen B        sen C                         

 

Vamos a utilizar sólo en triángulo rectángulo; y en concreto el ángulo de 90º y el de 50º, y sus lados opuestos, x y 6  ,respectivamente:

x                 6

  ______    =   ______

   sen 90          sen 50

x·sen 50 = 6·sen 90

x = 6·sen 90

        ________

         sen 50

x = 7'832443736

EJERCICIO 6

EJERCICIO 6

Hallar el área del cuadrado grande a partir del área del resto y observando el dibujo.

 En este ejercicio tenemos que hallar el área de un cuadrado a partir de el área de otros cuadrados, los cuales tienen las siguientes áreas:

• Cuadrado 1 ----- 12  (Hay 2)
• Cuadrado 2 ----- 3
• Cuadrado 3 ----- 27

Al lado derecho del cuadrado, está en cuadrado 1, por lo que la parte que coincide con este del cuadrado a hallar, vale ese mismo área.

En el lado izquierdo están el cuadrado 3 en la base, encima el 2 y arriba del todo el 1, podemos seguir el mismo proceso que en el lado derecho.

Si nos fijamos detenidamente, el cuadrado está inclinado, de forma que entre dicho cuadrado y los otros cuatro tenemos 4 triángulos rectángulos distintos, de los cuales solo conocemos uno de los catetos.

Para resolver esto tendríamos que recurrir a la trigonometría básica ( seno, coseno y tangente ).

Antes de usar estos términos, tenemos que encontrar uno de los dos ángulos restante.

EJERCICIO 5

EJERCICIO 5

¿Un número irracional elevado a otro número irracional puede ser un número racional?

La respuesta a este ejercicio es SI , para demostrarlo vamos a utilizar uno de los números irracionales más conocidos, la raíz cuadrada de 2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

• Si es racional, la respuesta es positiva, y habríamos acabado.
• Si es irracional, entonces como   = 2 que es racional, la respuesta vuelve a ser positiva.

Con esto comprobamos que cualquier potencia de números irracionales puede transformarse a partir de operaciones y ser uno racional

EJERCICIO 4

EJERCICIO 4

Hallar el resto de la división entrera de 38 elevado a 605 y 7.

Para realizar esta operación, vamos a escribir antes cómo quedaría escrita con números:

 605

                                                                                            38    = 7

Ponemos el igual, ya que al dividirlo otra vez entre 7 y el resto, pasamos el 7 ( y sus múltiplos, esto se escribe con un pequeño cíorculo encima de dicho número) al otro lado de dicha operación, y a continuación le sumamos el resto:

                                  

                                                                               605            º

                                               38     = 7 + r

La idea para continuar es tratar de reducir la primera parte del ejercicio (antes del =) o expresarlo en función de los múltiplos de 7.

Entonces dividimos 38 entre 7:

38    /_ 7_

3       5

/           

Ahora tenemos:

 

38= 7 · 5 +3

  º

38= 7 +3

Ahora elevamos la segunda parte de la operación a 605, ya que es lo que aún no hemos ultilizado.

    º          605                º

          (7+3)   =  7 + r

Buscando en internet, encontré una propiedad que dice:

         º          n       º           n

( a + r ) = a + r

Sabiendo esta propiedad, vamos a sustituir por los números de este ejercico:

     º            605     º             

7 + 3 = 7 + r

Ahora nos fijamos en la parte subrayada, y tenemos que desarrollarla de forma en que quede algo muy pequeño (NO <3) y que sea múltiplo de 7: 

                                                                              1

3    = 3

                                                              27     /_7_

                                                            6        3

 2vfvdfg ºvdfv

3  = 9 =7 + 2 

 3 gtg       º           

3 = 27 = 7 + r +6

    º

         7 - 1

(EXCESO)

A continuación buscamos potencias de 3 al cubo, y com 605 no lo es, buscamos el número más cercano a este, el cual es 603

º         2    603  6º3    º

7 + 3 · 3 = 7 + r 

           201

     º          2           3         º            

7 + 3 ·( 3  )=  7 + r

 º         º                    º         201  º     

7 + ( 7 +  2 ) · ( 7 - 1 ) = 7 + r

Ahora usando la propiedad de antes, sustituimos lo subrayado:

                                    

                                    º              º                    º                                                                 

7 + ( 7 + 2 ). ( 7 - 1 ) = 7 - r

       º          º              º               

7 + 7 - 2 =7 + r

    º                º            

7 - 2 = 7 + r

                                                  º

Al igual que antes nos dió que 7-1 era exceso, nos sucede lo mismo con el 2, con lo cual tenemos que restar 7-2 

                                                                    º                      º

7 + 5 = 7 + r

(DEFECTO)

La respuesta de este ejercicio es r=5

Para realizar este ejercicio, tuve que buscar ejercicios resueltos similares y comprobar que la fórmula que uliticé era correcta o no.

EJERCICIO 3

EJERCICIO 3

¿1817 es un número primo?

Para comprobar si un número es primo o no, tenemos que factorizarlo, utilizando el sistema en el que dibujamos una línea y vamos dividiendo ese número por otros que son primos hasta que de exacto, entonces será un divisor del mismo.

Al factorizar este número, comprobamos que es divisible entre 23 y 79, y lógicamente entre 1 y el mismo 1817.

Con lo cual, obtenemos la respuesta de que NO es primo, ya que sus divisores son: 1, 23, 79,1817.

1817 X  79

    23 X  23

       1  X        

EJERCICIO 2

EJERCICIO2

Resuelve:

•  ax=b
•  xy=z

En este primer ejercicio no conocemos el valor de ninguna de las letras, lo único que sabemos es que el valor de a multiplicado por x da el valor de b; y que x por y daría el valor de z.

Para realizar operaciones de este tipo tenemos que utilizar la operación opuesta, en este casp, división.

Damos un valor a la primera incógnita, es decir, la letra a; por ejemplo, 2. 

Esto signifique que tenemos 2x=b, por lo que b seria el doble (2x), ahora tenemos 2x=4

Por último despejamos la x para hallar su valor:

2x=4

  x=4/2

  x=2

En el segundo ejercicio, realizamos el mismo proceso,aunque con distintas letras(x,y,z), aunque recordamos que en el ejrecicio anterior obtuvimos el valor de la x (2). 

Por lo tanto:

xy=z

2y=z

2y=4

y=4/2

y=2

Podemos reralizar el ejercicio de otras dos formas distintas, la primera de estas es inventarse valores distinto de 2 para la x ; mientras que de la segunda forma podemos añadir decimales,para que sea más complejo.

EJERCICIO 1

EJERCICIO 1

Concentración y revisión

En este primer ejercicio, vemos simples operaciones con figuras (de las cuales tenemos que hallar el valor) y un resultado final.

En la primera operación, sumamos tres figuras iguales,por lo que valen lo mismo, y el resultado es 45, con lo cual dividimos 45 entre 3 que da 15. Por lo tanto, la figura 1 tiene un valor de 15.

En la segunda, hay una suma de dos figuras iguales (figura 12) más la figura 1, el resultado es 23.

Para resolverla, hay que restar 23 menos el número de la figura que sabemos, 15, que da 8 y esto hay que dividirlo entre 2 ya que lo que queda es la suma de dos figuras (8/2=4). 

La figura 2 tiene un valor de 4.

En la tercera, está la suma de una figura 2 y dos nuevas (figura 3); el resultado obtenido es 10, con lo cual restamos 10 menos lo que vale la 2ª figura (4) que da 6, y lo dividimos entre 2, por lo que la figura 3 vale 3. 

DATO: si nos fijamos bien en los relojes, marcan las 3,con lo cual podríamos haber deducido antes el valor de estos con un poco de atención.

En la última operación, esta la suma de una cuarta figura (es un reloj que marca las 2, con lo cual ese podría ser el valor), de dos de la figura 2 multiplicado por una figura 1, y el resultado no está hallado, así que a partir de los datos que tenemos, deducimos lo siguiente:

 2 +  4 + 4 · 15=66

MI PRIMERA CLASE DE MATEMÁTICAS

MI PRIMERA CLASE DE MATEMÁTICAS

El pasado martes 18/09 fue mi primera clase de matemáticas en un instituto nuevo para mí. 

Al empezar la clase el profesor nos preguntó si nos extrañaba la colocación de la clase ( estábamos colocados en forma de U); y obviamente todos contestamos que si, ya que en cursos anteriores siempre hemos estados sentados de uno en uno, sin hablar con los compañeros durante la clase.

Estuvimos hablando sobre las ventajas e inconvenientes de esta colocación. En ventajas dijimos que de esa forma podíamos ver a toda la clase,podemos trabajar en grupo y ayudando a los compañeros etc; y en inconvenientes, que era mucho más fácil distraerse con los compañeros o hablar más de lo necesario en la clase.

Después el profesor nos comentó que no le gustan las clases magistrales,por lo que intentará dar las menos posibles. Vimos una serie de diapositivas en las que se explicaba cómo iba a trabajarse la materia, los criterios de calificación y varios ejercicios que tendremos que realizar a lo largo de la semana en nuestro blog.

Lo que más me llamó la atención fue cuando dijo que se trabajará en grupos o parejas y que incluso los exámenes se harán con otros compañeros, de forma que nos ayudemos, ya que para él el objetivo no es la nota en sí, si no aprender y evolucionar durante cada una de las evaluaciones del curso.

Me parece una forma distinta de trabajar y aprender porque además de hacer que la clase sea más llevadera,puedes aprender cosas de las personas con las que trabajas.