PRUEBA 3

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1) Define solución de una ecuación como un conjunto. ¿Qué es resolver una ecuación? ¿Cuándo se dice que una ecuación es equivalente a otra ecuación? En ese caso, ¿podemos decir que son ecuaciones equivalentes? ¿Qué son las transformaciones elementales sobre una ecuación? ¿Cómo se resuelve una ecuación?

2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. *
2. *
3. *
4. *
5. *
6. *   (2x+1)² = 0
7. *   (2x+1)² = 13
8. *   (2x+1)² - 49 = 0
9. *   0x = 0
10. *   (x+1)² = x² + 2x + 1

 

 

      

3) ¿Qué es una ecuación diofántica? Pon un ejemplo.

Se llama "ecuación diofántica"  a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras, esto significa, que pertenezcan al conjunto de los números

4) Resuelve la ecuación diofántica x² + y² = z²

5) Resuelve las siguientes ecuaciones:

* 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica).
* 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números racionales.
* 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números reales.
* 0x + 0y = 0

6) Clasifica y resuelve por el método de Gauss, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales:

Sustituye la tercera ecuación por otra de forma que el sistema resultante sea compatible indeterminado uniparamétrico. 

7) Dos albañiles hacen una reparación en 4 horas. Uno de ellos la haría en 6 horas. Calcula el tiempo que tardaría en hacerla el otro solo.

8) Halla el divisor de una división entera sabiendo que el dividendo es 595, que el cociente y el resto son iguales y que el divisor es el doble del cociente.

9) En una finca hay 22 árboles entre manzanos, ciruelos y perales. El doble del número de ciruelos más el triple del número de perales es igual al doble del número de manzanos. Halla el número de árboles de cada tipo si se sabe que el número de ciruelos es la mitad del de manzanos.

10) Clasifica y resuelve por el método de Gauss, en forma matricial, y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

btgrfhrth


                                       

CARDANO

CARDANO

CARDANO​ fue un médico, además de un matemático italiano del Renacimiento, astrólogo y un estudioso del azar. 

​También es conocido por ser el primero en publicar una solución general completa de la ecuación de tercer grado ​ y de la ecuación de cuarto grado.

Cardano destaca por sus trabajos de álgebra. En 1539 publicó su libro de aritmética "Practica arithmetica et mensurandi singulares". Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su "Ars magna" ,en 1545. 

La solución a un caso particular de ecuación cúbica ${\displaystyle x^{3}+ax=b}$ 

En realidad, el hallazgo de la solución de las ecuaciones cúbicas no se debe ni a Cardano ni a Tartaglia (había hallado una primera fórmula Scipione dal Ferro ) y hoy está acreditada la honradez de Cardano que lo reconocía así en su libro. 

Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano llamado Lodovico Ferrari. En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce como números imaginarios.

.

PRUEBA 2

Polinomios. Fracciones algebraicas

1)  

            Define los siguientes conjuntos de polinomios: Z[x], Q[x] y R[x]. Observa que 

Pon ejemplos de, un polinomio en Z[x], un polinomio en Q[x]-Z[x] y un polinomio en R[x]-Q[x].

2)

           Halla el inverso del polinomio 2x+3. ¿Qué es una fracción algebraica? Pon ejemplos.                    ¿2x+3 es una fracción algebraica?

      Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que                            numerador  y denominador son polinomios, siendo el denominador no              nulo.

3)

          Define polinomio, ecuación polinómica y función polinómica. Define raíz de un                              polinomio, solución de una ecuación y cero de una función. Pon ejemplos.                    

POLINOMIO: Es una expresión algebraica formada por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados) y constantes (números fijos, los coeficientes). 

Las variables pueden tener exponentes de valores definidos naturales, incluido el cero y cuyo valor máximo se conocerá como grado del polinomio. 

FUNCIÓN DE POLINOMIOS: Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio  en la que:

1. El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. 
2. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.
3. Las funciones polinómicas pueden clasificarse en diferentes tipos según el grado del polinomio

RAÍZ DE UN POLINOMIO: Las raíces de un polinomio  son los valores para los cuales,

el valor numérico del polinomio es igual a cero.

Recordamos que para calcular el valor numérico de un polinomio hay que sustituir la variable del polinomio por un número. Cuando este valor sea cero, el número corresponderá con la raíz del polinomio

SOLUCIÓN ECUACIÓN DE UN POLINOMIO: Resolver una ecuación es calcular la solución de esta. La solución de la ecuación son los valores numéricos de las letras (variables o incógnitas) para los cuales la igualdad es cierta. Es decir, al sustituir estos valores por las letras en la ecuación y operar, obtenemos una igualdad.

CERO DE UNA FUNCIÓN: Se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:
Se dice que 2 y 4 son raíces  ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

 A)     Halla las raíces del polinomio 8x³ + 2x² - 13x + 3

 B)     Resuelve la ecuación  polinómica 8x³ + 2x² - 13x + 3 = 0

 C)    Halla los ceros de la función polinómica y = 8x³ + 2x² - 13x + 3

4)

          Enuncia y demuestra el teorema del factor.

El teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. 

Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ tiene un factor ${\displaystyle (x-k)}$ si y sólo si K 

es una raíz de ${\displaystyle P(x)}$, es decir que ${\displaystyle P(k)=0}$.

5)

          Halla el coeficiente a del polinomio x⁴ - 4x³ - ax  para que el resto de la división entera           de  dicho polinomio y (x+2) sea -2.

6)

          Escribe en lenguaje matemático la siguiente proposición: Si a es un número entero raíz              de  un polinomio p(x) con coeficientes enteros entonces a es un divisor del término                    independiente de a. 

          Demuéstrala. 

          Enuncia la proposición contrarrecíproca.

        ¿Es cierta la proposición recíproca?

7)
        La anterior proposición nos permite encontrar la raíces enteras de un polinomio con                 coeficientes enteros. Enuncia una proposición análoga sobre las raíces racionales de un             polinomio con coeficientes racionales.

8)

          Factoriza los siguientes polinomios·

                        8x³ + 2x² - 13x + 3 
                        12x³ - 8x² - 3x + 2   
                        x⁴ + 4y⁴    

9)

         Sea f una función polinómica con coeficientes enteros. Demuestra que si la distancia                   entre  dos puntos cualesquiera de su gráfica con coordenadas enteras es un número                    entero entonces el segmento que une dichos puntos es paralelo al eje de abscisas.

10)

             Opera y simplifica el resultado